理科高数系列： 反三角函数 3

反三角函数求角题型，注意范围。

1. $$\sin^{-1}0.4+\cos^{-1}0.4=?$$
   
2. $$\tan^{-1}\frac{1}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{2}=?$$
   
3. $$\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3=?$$

理科高数系列： 反三角函数 2

反三角函数的抵消条件题型。

1. $$\sin^{-1}\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)=?$$
   
2. $$\cos^{-1}\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right)=?$$
   
3. $$\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)+\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{5}\right)=?$$

理科高数系列： 反三角函数 1

基本反三角函数观念解说及例题示范

1. $$\sin\left(\cos^{-1}\frac{2}{\sqrt5}+\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=?$$
   
2. $$\tan\left[\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\sin^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)\right]=?$$
   
3. $$\cos\left[\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\cos^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right]=?$$
   
4. $$\sin\left[\tan^{-1}5+\csc(-3)\right]=?$$
   
5. $$\sin\left[2\tan^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)\right]=?$$

考与不考之间

此处不考爷，自有考爷处，处处考不取，爷爷家中住。

                                                                                  张大春，《认得几个字》

其实对于教与学，因为工作的关系，我倒是有切身体会的。（自愿性）游走于教育制度这个庞大的体制之外围的我，对 "To Test or Not To Test" 有着一个比较不同的看法。

我觉得考试是必要的。大前研一在《低IQ时代》也提到了宽松教育政策直接造就了日本近年的学术水平下滑。没有考试的刺激，学生不会拿起书本（其实是课本），这是千古不变的定律，也是普及化教育所赖以维持的手段及技法。在这以前，只有爱书人才会选择追求学术之路（所以考不考都好，他们都爱读书），可是现在不一样。为了追求全民教育，就有了许多迫不得已且近乎强迫性的考试制度来达到一个品检的目的。所以，就这一点来说，个人认为除非你摒弃 General Literacy 这个大目标，否则考试制度是无法避免的。

反倒是对于教者，我是稍有微词的。最大的问题不是考还是不考（因为既然是无可避免的，倒不如去当成一个闯关游戏来玩），而是在于老师们能不能让课堂的内容丰富起来。如果教者本身老是抱着得过且过的态度，不追求更新的知识，不关心各学科间的相容贯通，课堂当然会沉闷。理科老师不关心文艺，文科老师漠视数理之美，对其他非本科知识毫不关心，在在显示出一个教育工作者的局限与肤浅。也就因为有这样（为数众多）的老师，才会有那么多痛恨考试的学生。因为既然学习是那么狭义的，考试自然就变得钻牛角尖，人生态度也变得斤斤计较起来，长大后就是那个嘴脸了。反之，举个例子，如果教导数学的老师们，可以不时分享音乐之美，文学之多姿多彩，并且诚实地去面对一个事实：数学不是一切。那么，课堂内的气氛就多了一份从容豁达，微积分也就变成了一个游戏，“大家尽力、认真地玩一下吧！”的场所，考试之苦也就相互抵消大半了。

其实文人们拼命地评击考试，又何尝没有他们的（潜意识的）议程呢？大多文体内所载的 “反考试” 的内容，都是出自小说家/评论家/大众学者/文艺工作者/出版社/剧场经营者/书店业者/表演工作者等等。他们的生计都跟现行的教育制度在作拉锯战。打个比方，大家都去补习K书，哪来年轻人去剧场看戏啊？哪来年轻人买书看小说啊？连报上的专栏作家的文章都少了一大瓢的读者了。你说，他们怎么不痛恨偏重考试的教育制度？所以，在这场考或不考的辩论中，没有人是清白的。只是大家不愿承认而已。攻击考试是自相矛盾的。年轻舞者欲加入云门，林怀民能不“考考”他吗？出版社征聘翻译，不看他的履历吗？评论家引经据典的动作本身就充满了“比较”意味，心中那把尺也在“考”。

早些日子读到朱天心的《击壤歌》，惊叹于她对联考的那一份从容自在。个人看法是，她那份自在，源自于她那本就被文学电影音乐填满的生活，所以生活不苦闷，就那么简单。

理科高数系列： 数学归纳法 9

涉及整除性的题目。

若 $n$ 为正整数，证明：$x+a$ 是 $x^{2n+1}+a^{2n+1}$ 的因式。

理科高数系列： 数学归纳法 8

涉及整除性的题目。

若 $n$ 为正整数，证明：$3^{4n+2}+2\times4^{3n+1}$ 能被 17 整除。

理科高数系列： 数学归纳法 7

涉及数列计算的题型

证明：$$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...\frac{1}{n(n+1)}+=\frac{n}{n+1}$$，$$n$$ 为正整数。
据此，计算：$$\frac{1}{100\times101}+\frac{1}{101\times102}+\frac{1}{102\times103}+...\frac{1}{199\times200}$$ 的值。

理科高数系列： 数学归纳法 6

涉及分式及阶层的题型

证明：$$1\times\frac{2!}{2^2}+2\times\frac{3!}{2^3}+3\times\frac{4!}{2^4}+...n\times\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}=\frac{(n+2)!}{2^{n+1}} -1$$ 。