1. $$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1 \times 2}{n^3} + \frac{2 \times 3}{n^3} + ... + \frac{n(n+1)}{n^3} \right]$$
2. $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n-1}{n} \right)$$
Thursday, April 29, 2010
高中微积分系列：极限 8
更多牵涉特级数列的极限题。
1. $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2-1} - \frac{n}{3}\right)$$
2. $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} \right)$$
高中微积分系列：极限 7
牵涉特级数列的极限题。
1. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2} $$
2. $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^3}{n^2} + \frac{2^3}{n^2} + ... \frac{n^3}{n^2} \right) $$
高中微积分系列：极限 6
x 趋近无限时，牵涉根号的极限题。
1. $$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+4} \right)$$
2. $$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt n \right)\sqrt{n+1}$$
高中微积分系列：极限 5
求当 x 趋近无限时，求根式的极限
1. $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{2x^2-3}}$$
2. $$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+2x} -x \right)$$
高中微积分系列：极限 4
当 X 趋近无限时的求极限。
1. $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4-1}{x^3-1}$$
2. $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-6}{(x^2-1)(x+1)}$$
3. $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3-2x^2+1}{2x^3-1}$$
高中微积分系列：极限3
分式（带根式）求极限
1. $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt x -1}{x-1}$$
2. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{2x}$$
3. $$\lim_{h \to 0} \frac{(1-h)^3-1}{h}$$
4. $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+16} -4}$$
高中微积分系列：极限 2
分式求极限（配合综合除法的应用）
1. $$\lim_{x \to 1} \frac{(x-2)\sqrt{2-x}}{x^4-1}$$
2. $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x^2-1}{2x^3-3x+1} \right)$$
3. $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-9x+18}{x-3}$$
高中微积分系列：极限 1
分式的求极限题。
1. $$\lim_{x \to 2} (x-2) \left( \frac{x}{x^2-4} \right)$$
2. $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2} \right)$$
3. $$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-4x-4}{x^2-4}$$
Thursday, April 22, 2010
高中代数系列：二项式 6
— 二项式之相乘；以二项式求 某数的近似值。
1. 求 $$(2x-3)(2-x)^5$$ 展开式中 $$x^3$$ 的系数。
2. 展开 $$(x - \frac{1}{x})^6$$ 至第四项。利用上述结果，求 $$9.9^6$$ 的值，答案取三位有效数字。
高中代数系列：二项式 5
二项中有一项为 1 的二项式；两二项式相乘结果中特定项的系数。
1. 试求 $(1-x)^3(1+x)^5$ 之展开式中 $x^4$ 的系数。
2. 试求 $(1+2x)^5(1-3x)^6)$ 之展开式中 $x^2$ 的系数。
高中代数系列：二项式 4
以通项公式来求二项式内的未知数及 x^n 的系数。
1. 如果 $$(x^2 + \frac{1}{x})^n$$ 的第七项为常数项，求 $$n$$ 的值。
2. 如果 $$(\frac{1}{x} + ax^2)^6$$ 展开后的常数项是 60，求 $$a$$ 的可能值。
3. 求 $$(3x^2 - \frac{2}{3x})^9$$ 之展开式中 $$x^3$$ 的系数。
4. 求 $$(x^2 - \frac{1}{x^3})^9$$ 之展开式中 $$\frac{1}{x^7}$$ 项的系数。
高中代数系列：二项式 3
以通项公式求常数项。
1. 求 $$(x - \frac{1}{\sqrt x})^6$$ 展开式的常数项。
2. 求 $$(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x})^9$$ 展开式的不含 $$x$$ 的项。
Wednesday, April 14, 2010
高中代数系列：二项式 2
已知第 n 项但求二项式内的未知数；系数的比较；中间项。
1. 若 $$(1+ax)^8$$ 之第四项为 $$448x^3$$ ，则 $$a$$ 之值为多少？
2. 在 $$\left( x + \frac{1}{x} \right)^{2n}$$ 之展开式中，已知它的第五项与第七项的系数相同，试求 $$n$$ 的值。
3. 求 $$\left( x + \frac{1}{2x^2} \right)^8$$ 展开式中的中间项。
高中代数系列：二项式 1
求二项式展开后的第 n 项。
1. 求 $$\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^{12}$$ 展开式的第十项。
2. 求 $$\left( 5x - \sqrt {\frac{3}{x}} \right)^{12}$$ 展开式的第九项。
高中代数系列：概率 8
概率杂例数题。
1. 9支足球队，有5支亚洲队，4支非洲队。从中抽取两队比赛，则抽中1支亚洲队及1支非洲队的概率为多少？
2. 某人在一枪击练习中的命中率为0.2。若连续射击4次，则命中至少2次的概率是多少？
3. 在写上1到9的9张卡片中任取两张。求两张卡片的积为偶数的概率。
4. 甲、乙两人进行5场比赛。只要有一人赢得三场，
比赛即告结束。每场比赛中甲的获胜率为2/3，
乙的获胜率为1/3。求比赛以乙3胜2负而结束的概率。
5. 一位大学生向A，B，C三间公司求职。据他的估计，
成功在这三间公司获得工作的概率为 1/3，2/5，及3/7。
求他成功求得工作的概率。
Monday, April 12, 2010
高中代数系列：概率 7
找出对的钥匙及坏的灯泡。
a. 某人有6把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，于是逐把试开。求恰好第三次才打开房门的概率。
b. 有6粒灯泡，其中4粒是好的，另2粒是坏的。现要逐个检验以寻出两粒坏的灯泡。求以下概率：
i. 第二粒坏灯泡是在第三次检验时找到
ii. 第二粒坏灯泡是在最后一次检验才找到
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