高中微积分系列：微分应用 13

基本变率题型：体积及表面积变率

1. 一个呈现完美球体形状的气球被注入空气。其半径以每分钟3 cm 的速率在增加，求当其半径为10 cm时，其体积的增率。
   
   
2. 一个球体的表面积正以每秒钟 $3 \pi cm^2$的速率在缩小。求当其半径为2 cm 时，其体积的缩小速率。

高中微积分系列：微分应用 15

基本变率题：距离题。

两艘快艇从同一个地点出发。

一艘朝北面以每小时15公里的速度开行，

另一艘则以每小时20公里的速度朝东面开行。

求两个小时后两艘快艇之间的距离的变率。

高中微积分系列：微分应用 14

相关变率题型 ：楼梯题

一把长26尺的梯子斜靠在一面墙壁上。

若现在梯子的顶端以每秒钟 2 尺的速率往下滑，

求当梯脚离开墙壁 10 尺时，梯脚滑离该面墙壁的速率。

高中微积分系列：微分应用 12

基本变率题型：面积变率

1. 一长方形的两边长度为 2x cm 及 5x cm。

   若 x 以每秒钟 3 cm的速率递增，

   求当长方形面积为40 cm²的时候，

   其面积增率。
   
   

2. 一粒石头被投入水中，激起了圆形的涟漪。若该涟漪的半径以每秒钟2 cm 的速率在增加。试求当其半径为10 cm 时，其面积的增长率。
   
   

高中微积分系列：微分应用 11

以微分作增减量的计算。

1. 若 $$y=\frac{1}{\sqrt[3]x}$$，试求 $$\frac{dy}{dx}$$。并用此结果求 $$\frac{1}{\sqrt[3]{130}}$$ 的近似值。

2. 若 $y=3x^5$。若 $x$ 增加了 0.1 % ，试求 $y$ 的近似增加率。

高中微积分系列：微分应用 10

以微分算出最省钱的方法。

李先生想要将一面积为800 m² 的草地围起篱芭。

他将会将其中三面篱芭以铁丝网围起（每1 m 成本 RM 6），

而剩下的一面则会以木板来围（每1 m 成本 RM 18）。

问要如何围法才会更节省？

高中微积分系列：微分应用 8

如何以微分算出最赚钱的搭配。

一租车公司的营业状况如下：若车辆的每日租金为RM30，可租出200辆车。

根据统计，收费每提高RM 1，则会少租出5辆车。

问租出几辆车时，其盈利为最高？而该最高盈利为多少？

高中微积分系列：微分应用 9

如何以微分算出最大的体积切割法。

将一张120 cm 长，80 cm 宽的长方形纸皮的四个角落

切割出四个大小相同的正方形，然后将剩余的纸皮摺成一长方体。

若此长方体的体积得要最大时，那被切割出来的四个正方形的边长应为多少？

高中微积分系列：微分应用 7

以微分来求极值；增减区间；及作图。

求曲线 $\;y=4x^3-3x^2-6x+1\;$ 的极大和极小值，并绘出它的图像。

高中微积分系列：微分应用 6

简易导数运用题型两题。

1。一曲线的转弯点 (Turning Point) 为 $(3, 4)$，且 $$f^\prime (x)=2(x-a)$$。求 $a$ 之值。

2。一曲线的斜率是 $2x-k$ ，且 $(-2, 1)$ 为该曲线的驻点 (Stationary Point)。求 $k$ 的值。

高中微积分系列：微分应用 5

极大极小值进阶题两题。

1。若 $x+y=6$，则 $x^2y$ 之极大值是多少？

2。二次函数 $y=x^2+ax+b$ 在 时有极小值 3，试求 $a$ 及 $b$ 之值。

高中微积分系列：微分应用 4

如何以导数求出极值。

1。 函数 $$f(x)=x^3-x^2-x+1$$ 的极小值为多少?

高中微积分系列：微分应用 3

从斜率求原来方程的未知数。

1。已知曲线 $$y=\frac{m}{x}+nx^2$$ 在点 $(-1, 2)$ 上的斜率是 -3，求 $m$ 及 $n$ 的值。

2。若直线 $$y=3x+k$$ 是曲线 $$y=\frac{3}{1-x}$$ 的切线，求 $k$ 的值。

高中微积分系列：微分应用 2

如何以导数（带隐函数）求切线斜率，进而求切线方程及法线方程。

1。求曲线 $$x^2y+3y-4=0$$ 在点 $(-1, 1)$上的切线方程式。

2。求曲线 $$x^2+2xy-y^2=7$$ 在点 $(-2, -3)$上的法线方程式。

高中微积分系列：微分应用 1

如何以导数求切线斜率，进而求切线方程及法线方程。

1。求曲线 $$y=x^3-5x^2-x+5$$ 在点 $(2, -9)$ 上的切线方程式。

2。求曲线 $$y=3x+\frac{4}{x^2}$$ 在点 $(2, 7)$ 上的法线方程式。

高中微积分系列：微分法则 9

隐函数之微分两题。

1。若 $y$ 是 $x$ 的函数，且$$y^2(x^3+1)=x^2$$，求 $$\frac{dy}{dx}$$。

2。若 $y$ 是 $x$ 的函数，且$$\sqrt x + \sqrt{2y}=\sqrt a$$，求 $$\frac{dy}{dx}$$。

高中微积分系列：微分法则 8

隐函数微分两题。

1。若 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $$y^2-4x=0$$，求 $$\frac{dy}{dx}$$

2。若 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $$xy-y^2=\frac{1}{x}$$，求 $$\frac{dy}{dx}$$

高中微积分系列：微分法则 7

一导及二导的证明题

1。若 $$y=\frac{10-5x^3}{x}$$，试证 $$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+30x=0$$

2。若 $$y=ax^2+bx$$，试证 $$x^2\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+2y=0$$

3。若 $$y=kx^p$$ ，式中 $k$ 及 $p$ 皆为非零常数，求 $p$ 之值使到 $$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+2x\frac{dy}{dx}-2y=0$$

高中微积分系列：微分法则 6

链导法求值

1。已知 $\begin{cases} x=1+t^2 \\ y=2t \end{cases}$ ，求 $$\frac{dy}{dx}$$

2。已知 $y=(2t+3)^5$，$t=3x+4$，则当 $x=-1$ 时，$$\frac{dy}{dx}$$ 之值为多少？

高中微积分系列：微分法则 5

乘法公式（牵涉根式）题目两题。

1。若 $$y=(2x-1)\sqrt{x-2}$$，证明 $$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x-3)}{2\sqrt{x-2}}$$。

2。若 $$y=x \sqrt{4+2x^2}$$，证明 $$\frac{dy}{dx} = \frac{4+4x^2}{\sqrt{4+2x^2}}$$。