“I never teach my pupils; I only attempt to provide the conditions in which they can learn.” ~ ALBERT EINSTEIN
一对夫妇及其六名孩子围坐圆桌进餐。如果该对夫妇必须
a) 相邻而坐；
b) 相对而坐，
问共有多少种不同的坐法？
做么那个相对而坐不是6! x 2!啊？相对不是可以调换位的?
就圆桌而言，两个人换位没有意义
To: icecreamzai你可以这样想：当父亲及母亲坐下后，左右各有三个座位。大儿子入座时会有几个位子让他选择呢？6 个对不对？二儿子则有 5 个位子让他选择；三儿子有 4 个位子让他选择。。。整个选位过程就有以下变化：6*5*4*3*2*1=720
老師你好,首先很感謝你post的教學短片,真的令我獲益不少.看了上面圓坐這道,我以前都沒學過,所以想請教一下(a)小題我有看明白了,但(b)的對坐我不是太理解,對坐的話,,假如我們設有12個坐位,像時鐘那樣1-12排有12個位置,a b 二人任意坐,但要求對坐,那我在想,不是應該1-7,2-8,3-9,4-10-,5-11,6-12,同時他們可以對掉坐,那就是12種了,不能這樣理解嗎??
我還想請教你一道題,把五封不同的信件投入三個不同的信箱,一共有多少種投法?
To nicksou:先说声对不起，到今天才回复你的讯息。其实对于(b)小题来说，你的想法不是不对，只是比我们一般的看法多了一些考虑，那就是对于 a, b二人坐在 1-7 或 2-8 或 其他位置作了区分，但这题并没有提出这样的要求。试想想你去一个华人婚宴喝喜酒，有一桌已坐满12人，你走过去打招呼。当你站在A先生后面时，你就会看见A先生对面坐的是谁。若A先生的位置是6点，对面则是12点了，对不？现在你往右移动一个位，A先生就不是在六点的位置了吧？他的位置对你目前来说变成了7点了。但A先生并没有移动对不？所以在圆桌题是不需以你的那种方式考虑的（除非有特别要求）。第二点，你的方法只考虑那两个人的坐法，其他的人是否也得考虑考虑呢？
To nicksou:对于投信题，其思考方式如下：对于每封信件来说，都可以被投入任何一个信箱对不对？所以，A信有3个信箱选择；B信亦有3个信箱选择；以此类推，答案就明显了，即：３＊３＊３＊３＊３＝２４３。
謝謝老師~信件的題,我理解了,很感謝你..圍坐還不是太明白,,先不理了,我最近又碰到另一題解析幾何題,希望老師幫個忙經點(-2,-1)且與橢圓5x(平方)+y(平方)=5相切的直線方程,我自己有想過,有一點,就差斜率,我設了方程為y+1=k(x+2),整理成y=kx+2k-1,代入橢圓方程,因為是切線,把方程整理成一般式,然後讓b(平方)-4ac =0 求出k的值,但後來b(平方)-4ac ,算出來是條超級麻煩的4次方程 ><請問老師,這個題有別的解法嗎??謝謝~ 來自澳門的小小學生字~
首先，$$5x^2+y^2=5$$ 的切线方程形式为 $$5(x_1x)+y_1y=5$$ 对不？若该切点为 $$(m,n)$$，切线即为$$5mx+ny=5$$，而切线斜率则为 $$\frac{-5m}{n}$$ 了。现在想想切点 $$(m,n)$$ 及 $$(-2,-1)$$的斜率，其必为 $$\frac{n+1}{m+2}$$，且相等于切线斜率，所以$$\frac{n+1}{m+2}=\frac{-5m}{n}$$，得一关系 $$5m^2+n^2=-10m-n-------(1)$$。另外，由于点 $$(m,n)$$ 是落在$$5x^2+y^2=5$$ 上，所以可得出另一方程$$5m^2+n^2=-5-------(2)$$。现将 (1)及(2)相减可得关系 $$n=-10m-5------(3)$$。将 (3) 代入(2)即可得$$m=\frac{-2}{7}, \frac{-2}{3}$$。那么，$$n$$值就从(3)可得了。切点既然已得到，切线就不是问题了。
謝謝老師的解答,這解法很巧妙,利用了題相沒給條件去想,甚至解出答案,太精彩了..我又學到了 ^^
老师我想请教有关于经纬度的问题试求A(72°20′E，23°15′）和B（107°40′W，17°50′N）在地球表面的最短距离，以海里表示
老師你好~我想請教有關抛物線切線的一道題.一直線與直線y=3x平行,並且與雙曲線4x^2-y^2=5相切,求這直線的方程.
To: Charlie由于 A 点及 B 点 的经度加起来恰好是 180° (72°20′+ 107°40′)，所以它们是在同一条子午线上。由于你的 A 点并无说明 23°15′ 为 23°15′N 或 23°15′S，所以我就直接假设为23°15′N。AB最短距离=[180°-（23°15'+17°50′)]*60 = 8335 海里。*由于此类题型得利用立体图形说明，所以若还有疑问你得请教你的科任老师了*
To nicksou:这题不是可以直接用你会的那个方法来解吗？设该切线为 $$y=3x+c$$ (因为次切线与 y=3x 平行)。再将 $$y=3x+c$$ 带入 $$4x^2-y^2=5$$ 并整理，然后设其判别式 $$b^2-4ac=0$$得到$$c$$值就切线可得啦。（参考答案：c = ±5/2）
谢谢你的指教
To Charlie:没问题。小事一宗。
oh,對哦,,,我真笨 ><謝謝老師再一次百忙中抽空幫忙,,非常感謝,感到自己很幸福,每次遇到困難都有老師你幫忙,希望老師你不會嫌我煩就好 ^^
To: nicksou其实最重要的是问的人要有礼貌，那么答的人就不介意那么多了。况且如果不是YOUTUBE这道桥梁，大家又怎么可能相识一场呢？别担心，我的时间还是够用的。:-)
老師,你好..最近溫習又遇上一些題目不會解,再次向你請教一下..1.己知a+b+c=1,證明: 1/a+1/b+1/c >= 9
還一條就是:有四個數,其前三個數成a.p.後三個數成g.p.且第一數與第四數之和等於16,第二個數與第三數之和等於8,求出這四個數.我先設了這四個數分別是a,b,c,d,依題意得出以下四個方程.b=(a+c)/2,c=(根號)bda+d=16b+c=8四條方程解四個未知數,似乎可以,,但我看著這四條式子真不知道怎樣入手...想問老師我這個解法是好方法嗎?還有如果解這個條方程有甚麼技巧?應該怎樣找出路?我跟幾個朋友都轉來轉去都轉不出路來..請老師幫忙,,感恩了.
好。先来答第二个问题：我不会设这么多个未知数 (a,b,c,d)。我会直接将数列设成 a, b, 8-b, 16-a 。则 $$\frac{a+(8-b)}{2}=b$$ ，得出 $$a=3b-8 ------(1)$$。另外，$$b (16-a)=(8-b)^2$$, 将 (1) 代入得 $$b=8, \; a=16$$ 或 $$b=2, \; a=-2$$数列可得 -2, 2, 6, 18 或 16, 8, 0, 0 根据 G. P. 的定义，只能取 -2, 2, 6, 18 为答案。
首先，你得要懂得 $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$ 的定理。由于a+b+c=1 (已知)，所以得$$\frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{abc} ----- (1)$$。另外，我们也以同理写出 $$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{a}*\frac{1}{b}*\frac{1}{c}}$$, 得到 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$$ 。由于条件(1)，所以若分母 $$\sqrt[3]{abc} \le \frac{1}{3}$$，则得到 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$$ 。切记：*在这里记得，a, b, c 皆为正数，所以分母 $$\sqrt[3]{abc}$$ 只会是正数 **所以当分母为1/3, 3除以 (1/3) 为 9。若分母再度缩小，则结果既必定大过 9。*
To：nicksou对于不等式那一题，你给少了一个条件。那就是 a, b, c 皆为正数。否则，随便开出一个例子，定理就不成立了。例子：若 a=-2/10, b=3/10, c=9/10, 虽然 a+b+c=1，但是 1/a+1/b+1/c = -0.555... (结果没有大过9)所以下次问问题记得要给足条件啦。。
對哦對哦...才給了你正數的條件 ^^ 那個在很開頭沒注意到呢不過老師身經百戰.一眼就看出來了,hehe...第二道老師這樣設實在帥呆了...我幾位同學都沒想到..精彩.再一次感謝老師百忙中抽空的解答~ 謝謝~
To：nicksou不客气。我也喜欢这种学习方式。其实，我们应该时常提醒自己在设条件时尽量将未知数减少。那么，就可以将方程组简化。我也是尝试过几种方法，发现从最后条件（第一數與第四數之和等於16,第二個數與第三數之和等於8）设起最理想。所以，就上载了这个解法。
以后问问题可到 “网上提问处”。方便一点。回到主页，点击左上角的 “网上提问处” 即可。使用方法依旧。
做么那个相对而坐不是6! x 2!啊？
ReplyDelete相对不是可以调换位的?
就圆桌而言，两个人换位没有意义
DeleteTo: icecreamzai
ReplyDelete你可以这样想：当父亲及母亲坐下后，左右各有三个座位。大儿子入座时会有几个位子让他选择呢？6 个对不对？二儿子则有 5 个位子让他选择；三儿子有 4 个位子让他选择。。。
整个选位过程就有以下变化：
6*5*4*3*2*1=720
老師你好,首先很感謝你post的教學短片,真的令我獲益不少.
ReplyDelete看了上面圓坐這道,我以前都沒學過,所以想請教一下
(a)小題我有看明白了,但(b)的對坐我不是太理解,
對坐的話,,假如我們設有12個坐位,像時鐘那樣1-12排
有12個位置,a b 二人任意坐,但要求對坐,那我在想,不是應該
1-7,2-8,3-9,4-10-,5-11,6-12,同時他們可以對掉坐,那就是12種了,不能這樣理解嗎??
我還想請教你一道題,
ReplyDelete把五封不同的信件投入三個不同的信箱,一共有多少種投法?
To nicksou:
ReplyDelete先说声对不起，到今天才回复你的讯息。其实对于(b)小题来说，你的想法不是不对，只是比我们一般的看法多了一些考虑，那就是对于 a, b二人坐在 1-7 或 2-8 或 其他位置作了区分，但这题并没有提出这样的要求。试想想你去一个华人婚宴喝喜酒，有一桌已坐满12人，你走过去打招呼。当你站在A先生后面时，你就会看见A先生对面坐的是谁。若A先生的位置是6点，对面则是12点了，对不？现在你往右移动一个位，A先生就不是在六点的位置了吧？他的位置对你目前来说变成了7点了。但A先生并没有移动对不？所以在圆桌题是不需以你的那种方式考虑的（除非有特别要求）。
第二点，你的方法只考虑那两个人的坐法，其他的人是否也得考虑考虑呢？
To nicksou:
ReplyDelete对于投信题，其思考方式如下：
对于每封信件来说，都可以被投入任何一个信箱对不对？
所以，A信有3个信箱选择；B信亦有3个信箱选择；以此类推，答案就明显了，即：３＊３＊３＊３＊３＝２４３。
謝謝老師~
ReplyDelete信件的題,我理解了,很感謝你..
圍坐還不是太明白,,先不理了,
我最近又碰到另一題解析幾何題,希望老師幫個忙
經點(-2,-1)且與橢圓5x(平方)+y(平方)=5相切的直線方程,
我自己有想過,有一點,就差斜率,我設了方程為
y+1=k(x+2),整理成y=kx+2k-1,代入橢圓方程,因為是切線,把方程整理成一般式,然後讓b(平方)-4ac =0 求出k的值,
但後來b(平方)-4ac ,算出來是條超級麻煩的4次方程 ><
請問老師,這個題有別的解法嗎??
謝謝~
來自澳門的小小學生字~
首先，$$5x^2+y^2=5$$ 的切线方程形式为 $$5(x_1x)+y_1y=5$$ 对不？若该切点为 $$(m,n)$$，切线即为$$5mx+ny=5$$，而切线斜率则为 $$\frac{-5m}{n}$$ 了。
ReplyDelete现在想想切点 $$(m,n)$$ 及 $$(-2,-1)$$的斜率，其必为 $$\frac{n+1}{m+2}$$，且相等于切线斜率，所以$$\frac{n+1}{m+2}=\frac{-5m}{n}$$，得一关系 $$5m^2+n^2=-10m-n-------(1)$$。另外，由于点 $$(m,n)$$ 是落在$$5x^2+y^2=5$$ 上，所以可得出另一方程$$5m^2+n^2=-5-------(2)$$。现将 (1)及(2)相减可得关系 $$n=-10m-5------(3)$$。将 (3) 代入(2)即可得$$m=\frac{-2}{7}, \frac{-2}{3}$$。那么，$$n$$值就从(3)可得了。切点既然已得到，切线就不是问题了。
謝謝老師的解答,這解法很巧妙,利用了題相沒給條件去想,甚至解出答案,太精彩了..我又學到了 ^^
ReplyDelete老师我想请教有关于经纬度的问题
ReplyDelete试求A(72°20′E，23°15′）和B（107°40′W，17°50′N）在地球表面的最短距离，以海里表示
老師你好~
ReplyDelete我想請教有關抛物線切線的一道題.
一直線與直線y=3x平行,並且與雙曲線4x^2-y^2=5相切,求這直線的方程.
To: Charlie
ReplyDelete由于 A 点及 B 点 的经度加起来恰好是 180° (72°20′+ 107°40′)，所以它们是在同一条子午线上。由于你的 A 点并无说明 23°15′ 为 23°15′N 或 23°15′S，所以我就直接假设为23°15′N。
AB最短距离=[180°-（23°15'+17°50′)]*60 = 8335 海里。
*由于此类题型得利用立体图形说明，所以若还有疑问你得请教你的科任老师了*
To nicksou:
ReplyDelete这题不是可以直接用你会的那个方法来解吗？
设该切线为 $$y=3x+c$$ (因为次切线与 y=3x 平行)。再将 $$y=3x+c$$ 带入 $$4x^2-y^2=5$$ 并整理，然后设其判别式 $$b^2-4ac=0$$得到$$c$$值就切线可得啦。
（参考答案：c = ±5/2）
谢谢你的指教
ReplyDeleteTo Charlie:
ReplyDelete没问题。小事一宗。
oh,對哦,,,我真笨 ><
ReplyDelete謝謝老師再一次百忙中抽空幫忙,,非常感謝,感到自己很幸福,每次遇到困難都有老師你幫忙,希望老師你不會嫌我煩就好 ^^
To: nicksou
ReplyDelete其实最重要的是问的人要有礼貌，那么答的人就不介意那么多了。况且如果不是YOUTUBE这道桥梁，大家又怎么可能相识一场呢？别担心，我的时间还是够用的。:-)
老師,你好..最近溫習又遇上一些題目不會解,再次向你請教一下..
ReplyDelete1.己知a+b+c=1,證明: 1/a+1/b+1/c >= 9
還一條就是:
ReplyDelete有四個數,其前三個數成a.p.後三個數成g.p.且第一數與第四數之和等於16,第二個數與第三數之和等於8,求出這四個數.
我先設了這四個數分別是a,b,c,d,依題意得出以下四個方程.
b=(a+c)/2,
c=(根號)bd
a+d=16
b+c=8
四條方程解四個未知數,似乎可以,,但我看著這四條式子真不知道怎樣入手...想問老師我這個解法是好方法嗎?還有如果解這個條方程有甚麼技巧?應該怎樣找出路?我跟幾個朋友都轉來轉去都轉不出路來..請老師幫忙,,感恩了.
好。先来答第二个问题：
ReplyDelete我不会设这么多个未知数 (a,b,c,d)。我会直接将数列设成 a, b, 8-b, 16-a 。
则 $$\frac{a+(8-b)}{2}=b$$ ，得出 $$a=3b-8 ------(1)$$。
另外，$$b (16-a)=(8-b)^2$$, 将 (1) 代入得 $$b=8, \; a=16$$ 或 $$b=2, \; a=-2$$
数列可得 -2, 2, 6, 18 或 16, 8, 0, 0
根据 G. P. 的定义，只能取 -2, 2, 6, 18 为答案。
首先，你得要懂得 $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$ 的定理。由于a+b+c=1 (已知)，所以得
ReplyDelete$$\frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{abc} ----- (1)$$。
另外，我们也以同理写出 $$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{a}*\frac{1}{b}*\frac{1}{c}}$$, 得到 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$$ 。
由于条件(1)，所以若分母 $$\sqrt[3]{abc} \le \frac{1}{3}$$，
则得到 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$$ 。
切记：
*在这里记得，a, b, c 皆为正数，所以分母 $$\sqrt[3]{abc}$$ 只会是正数 *
*所以当分母为1/3, 3除以 (1/3) 为 9。若分母再度缩小，则结果既必定大过 9。*
To：nicksou
ReplyDelete对于不等式那一题，你给少了一个条件。那就是 a, b, c 皆为正数。否则，随便开出一个例子，定理就不成立了。
例子：
若 a=-2/10, b=3/10, c=9/10,
虽然 a+b+c=1，
但是 1/a+1/b+1/c = -0.555... (结果没有大过9)所以下次问问题记得要给足条件啦。。
對哦對哦...才給了你正數的條件 ^^ 那個在很開頭沒注意到呢
ReplyDelete不過老師身經百戰.一眼就看出來了,hehe...
第二道老師這樣設實在帥呆了...我幾位同學都沒想到..精彩.再一次感謝老師百忙中抽空的解答~ 謝謝~
To：nicksou
ReplyDelete不客气。我也喜欢这种学习方式。
其实，我们应该时常提醒自己在设条件时尽量将未知数减少。那么，就可以将方程组简化。我也是尝试过几种方法，发现从最后条件（第一數與第四數之和等於16,第二個數與第三數之和等於8）设起最理想。所以，就上载了这个解法。
以后问问题可到 “网上提问处”。方便一点。
ReplyDelete回到主页，点击左上角的 “网上提问处” 即可。使用方法依旧。